Aspectos de la Teoría de Nudos

17 Oct. 2019 - Aula Magna FAMAF Estudiantes

Gerson Gutierrez expondrá su trabajo especial para la obtención del título de Licenciado en Matemáticas "Aspectos de la Teoría de Nudos", proyecto realizado bajo la dirección del Prof. Juan Pablo Rossetti.

Resumen:

Imagínese que tiene una cuerda y hace un amarre con ella, si luego pegamos los dos extremos de la cuerda obtenemos lo que se llama un nudo matemático, o simplemente nudo. La Teoría de Nudos estudia los nudos matemáticos, siendo un problema importante el de clasificarlos. Con este propósito, a lo largo de los años se han tratado de encontrar invariantes de nudos que ayuden a distinguirlos. En este punto, la teoría se relaciona con otras áreas de la matemática, como la combinatoria, la geometría y el álgebra. Un invariante importante es el llamado grupo nudo, que no es más que el grupo fundamental del complemento del nudo en el espacio euclídeo. Este grupo admite una reconocida presentación dada por generadores y relaciones, la presentacion de Wirtinger. En este trabajo estudiamos, en primer lugar, varios invariantes de nudos, tales como el coloreo, el polinomio de Alexander, el género, la matriz de Seifert, entre otros; y luego, en profundidad, las presentaciones de Wirtinger del grupo nudo. Se pueden definir grupos con presentaciones de Wirtinger de manera abstracta. Una tal presentación se dice geométrica si proviene de un nudo, y siempre se le puede asociar un polinomio de Alexander. Surge la pregunta natural si toda presentación abstracta es geométrica. Se conoce una familia de ejemplos que responde la pregunta por la negativa. En este trabajo se presenta una nueva familia de ejemplos de este tipo, aunque con polinomios de Alexander no simétricos, a diferencia de la anterior, donde son simétricos. Por otra parte, se estudiaron a fondo los llamados nudos virtuales, en especial un trabajo de Peter Doyle de Dartmouth College.