Distribución de pesos de códigos cíclicos a partir de sumas exponenciales y curvas algebraicas

Dirección de la plataforma de la reunión: meet.google.com/mis-bcci-jte

Resumen: Este trabajo trata sobre el espectro o distribución de pesos de códigos lineales y cíclicos. Esto es en general una tarea ardua y sólo se conoce el espectro de algunas familias de códigos. Estudiaremos distintas formas de encontrar dichas distribuciones de pesos a través de diferentes caminos. Primero veremos resultados generales para c´odigos lineales, que en particular dan una respuesta general al caso de los co´digos MDS. Luego, nos enfocaremos en códigos cíclicos generales viéndolos como códigos traza (combinando los teoremas de Delsarte y las identidades de MacWilliams). A partir de aquí haremos uso de dos estrategias generales, una que involucra ciertas sumas exponenciales (Gauss, Weil y/o Kloosterman) y otra basada en el conteo de puntos racionales de curvas algebraicas asociadas a los co´digos (t´ıpicamente de Artin-Schreier). Usaremos estas técnicas para obtener los espectros de familias de códigos muy conocidas como Hamming, BCH y Reed-Muller. Finalmente, aplicaremos estos m´etodos a dos familias de co´digos menos conocidos como los co´digos de Melas y de Zetterberg. En los casos binario y ternario, el cálculo de dichos espectros se puede realizar usando curvas elípticas y la traza de operadores de Hecke de ciertas formas modulares asociadas a ellas. El trabajo contiene numerosos ejemplos, muchos de ellos nuevos.