La energía de las secciones unitarias normales de la grassmanniana asociadas a productos cruz

2 Julio 2020 - Google Meet - UNC

Defensa de tesis doctoral a cargo de la Lic. Ruth Paola Moas

Sea G(k,n) la grassmanniana de subespacios orientados de Rn de dimensión k con su métrica riemanniana canónica. Estudiamos la energía de funciones que asignan a cada P en G(k,n) un vector unitario normal a P. Son secciones de un fibrado esférico E(k,n) sobre G(k,n). Los productos cruz doble y triple octoniónicos inducen de manera natural secciones de este tipo para k=2, n=7 y k=3, n=8, respectivamente. Probamos que son aplicaciones armónicas en E(k,n) munido de la métrica de Sasaki. Esto, junto con el resultado bien conocido de que los campos vectoriales de Hopf en esferas de dimensión impar son aplicaciones armónicas en su fibrado tangente unitario, nos permite concluir que todas las secciones normales unitarias de las grassmannianas asociadas a productos cruz son aplicaciones armónicas. También mostramos que estos fibrados esféricos no poseen secciones paralelas, que trivialmente habrían tenido energía mínima. En una segunda instancia analizamos la energía de aplicaciones que asignan a cada P en G(2,8) una estructura compleja ortogonal J(P) en el subespacio ortogonal a P. Estas asignaciones son secciones del subfibrado esférico unitario del fibrado vectorial sobre P en G(2,8) cuya fibra en cada P consiste esencialmente de las transformaciones antisimétricas del subespacio ortogonal a P. Probamos que la sección naturalmente inducida por el producto cruz triple octoniónico es una aplicación armónica. Comentamos la relación con la armonicidad de la estructura casi compleja canónica de la esfera de dimensión 6.

Palabras y frases claves: energía de secciones, aplicación armónica, sección verticalmente armónica, combadura total, laplaciano burdo, grassmanniana, fibrado esférico, octoniones, producto cruz, estructura compleja ortogonal, campo de Hopf, grupo de Lie excepcional.

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