Álgebras de pre-Nichols de dimensión de Gelfand-Kirillov finita | Tesis doctoral

Director: Dr. Iván ANGIONO

Tribunal Especial

Titulares:

Dra. Andrea Leonor SOLOTAR (FCEYN - UBA)

Dra. María Laura Rita BARBERIS (FAMAF)

Dr. Cristian Damián VAY (FAMAF)

Resumen: Andruskiewitsch y Schneider dieron un programa (conocido como Método del Levante) para la clasificación de álgebras de Hopf punteadas de coradical kG (con G un grupo finito fijo) de dimensión finita. Existe un resultado análogo para la clasificación de álgebras de Hopf de dimensión infinita pero con crecimiento controlado: su dimensión de Gelfand-Kirillov es finita: (A) Clasificar todos los módulos de Yetter-Drinfeld V sobre G tales que el álgebra de Nichols B(V) es de dimensión de Gelfand-Kirilov finita. (B) Para cada V obtenido, calcular todas las álgebras de post-Nichols de V. Se sabe además que (B) es equivalente a calcular las álgebras de pre-Nichols de V. Andruskiewitsch y Sanmarco introdujeron en 2019 la noción de álgebra de pre-Nichols eminente de una trenza de tipo diagonal; ésta es un elemento mínimo del conjunto parcialmente ordenado de álgebras de pre-Nichols de dimensión de Gelfand-Kirillov finita. En el mismo trabajo Andruskiewitsch y Sanmarco probaron que si la trenza es de tipo Cartan, salvo algunos casos excepcionales, entonces sólo hay una respectiva álgebra de pre-Nichols eminente y es igual a la respectiva álgebra de pre-Nichols distinguida (Introducida por Angiono en 2014). Para uno de los casos excepcionales encontraron el álgebra de pre-Nichols eminente correspondiente. Este trabajo fue un avance para (B) ya que encontrar álgebras de pre-Nichols eminentes de una trenza reduce el problema de encontrar todas las álgebras de pre-Nichols de dimensión de Gelfand-Kirillov finita a encontrar cocientes de dicha álgebra. Las trenzas cuyo diagrama de Dynkin es conexo están clasificadas en 5 familias, una de ellas son las de tipo Cartan. Los trabajos realizados y plasmados en la tesis fueron realizados junto con Angiono y Sanmarco y presentan un resultado análogo para el resto de las familias de trenzas, es decir, el álgebra de pre-Nichols eminente es igual a la respectiva álgebra de pre-Nichols distinguida salvo algunos casos excepcionales. Posteriormente usamos el resultado obtenido para clasificar las respectivas álgebras de pre-Nichols graduadas de una trenza de tipo súper como así de otros ejemplos con pocas raíces de Cartan. Además para cada caso excepcional, definimos una nueva álgebra de pre-Nichols de dimensión de Gelfand- Kirillov finita y probamos que es el álgebra de pre-Nichols eminente correspondiente. Probamos también que estos nuevos ejemplos son una extensión central de su correspondiente álgebra de pre-Nichols distinguida.