Construcciones geométricas asociadas a álgebras de Lie conformes | Defensa de tesis para optar al grado de Doctor en Matemática

Resumen: Así como las álgebras de Lie poseen álgebras asociativas universales envolventes, las álgebras de Lie conformes poseen álgebras de vértice universales envolventes. Motivados por esta analogía, en esta tesis definimos un objeto geométrico que se corresponde con un grupo de Lie en el contexto conforme, al cual llamamos “ind-esquema de vértice”. Primero abordamos este desafío en el nivel infinitesimal: definimos una “ley de vértice formal” como el análogo conforme de la noción clásica de “ley de grupo formal”, y demostramos versiones conformes de una serie de resultados clásicos tales como el teorema de Milnor-Moore, la dualidad de Cartier, y la equivalencia entre leyes de grupo formales y álgebras de Lie. Para poder definir el objeto a nivel global recurrimos a la teoría de álgebras quirales desarrollada por Beilinson y Drinfeld. Estos autores introdujeron varios objetos algebro-geométricos definidos sobre curvas algebraicas suaves que generalizan a las álgebras de vértice, principalmente las álgebras quirales, de factorización y OPE (en el caso equivariante por traslaciones sobre la recta afín, todas ellas son equivalentes a las álgebras de vértice). Las álgebras OPE nos interesan por su naturaleza explícitamente asociativa, mientras que las álgebras de factorización tienen la ventaja de ser fácilmente generalizables a ámbitos no lineales; sus contrapartes no lineales se conocen como monoides de factorización. En la segunda parte de la tesis damos una prueba directa de la equivalencia entre álgebras de factorización y álgebras OPE sobre la recta afín. A continuación, definimos monoides OPE como cierta versión no lineal de las álgebras OPE, y adaptamos nuestra demostración del caso lineal para mostrar que las categorías de monoides OPE y monoides de factorización sobre la recta afín son equivalentes. Luego definimos ind-esquemas de vértice de forma tal que su relación con los monoides OPE sea la misma que la que existe entre las álgebras de vértice y las álgebras OPE, y mostramos que pueden considerarse análogos conformes de los grupos de Lie puesto que sus espacios tangentes en la identidad son álgebras de Lie conformes, mientras que sus linealizaciones son álgebras de vértice. Para finalizar, damos ejemplos de ind-esquemas de vértice relacionados con las álgebras de Lie conformes current y Virasoro, y probamos que para toda álgebra de Lie conforme nilpotente existe un ind-esquema de vértice que la tiene como álgebra de Lie conforme tangente.