Estructura de álgebra de Poisson de la cohomología de ciertas álgebras de Lie nilpotentes | Defensa de tesis para optar al grado de Doctor en Matemática

Director: Dr. Leandro R. CAGLIERO

Tribunal Especial

Titulares:

Dr. Marco Andrés FARINATI (FCEyN, UBA)

Dr. Adrián Marcelo ANDRADA (FAMAF)

Dr. Cristian Damián VAY (FAMAF)

Suplentes:

Dr. Gastón Andrés GARCIA (FCE - UNLP)

Dra. María Inés PACHARONI (FAMAF)

Resumen: Dada un álgebra de Lie g de dimensión finita, su cohomología H** con coeficientes en el álgebra exterior de g posee una estructura de súper-Poisson, es decir, posee un producto asociativo súper-conmutativo y un corchete de Lie graduado que son compatibles en cierto sentido. En esta tesis se estudia en gran detalle la estructura de súper-Poisson de la cohomología de algunas álgebras de Lie nilpotentes en donde gl(2) actúa por derivaciones. Una característica distintiva en la descripción que hacemos de la estructura de Poisson es que aprovechamos la estructura de GL(2)-módulo de estas álgebras. Para ello introducimos el concepto de G-tabla de un álgebra (asociativa o no) en la que G actúa, de modo semisimple, por automorfismos. La G-tabla de un álgebra A emula el concepto de tabla de multiplicar de A, pero es mucho más concisa y brinda información mucho más detallada sobre la estructura multiplicativa y de G-módulo de A. Luego de calcular las G-tablas de ejemplos básicos, desarrollamos todo el trabajo para calcular las GL(2)-tablas de las álgebras de Poisson correspondientes, respectivamente, a la parte par y parte diagonal de H** para las álgebras de Lie de Heisenberg de dimensión 3 y libre 3-pasos nilpotente de rango 2. En este proceso, se obtienen nuevas familias de álgebras de Poisson de dimensión arbitrariamente grande las cuales son presentadas con su correspondientes SL(n)-tablas. En el cálculo de las GL(2)-tablas es crucial calcular lo que llamamos productos de Clebsch-Gordan. Se estudia además la denominada acción central, noción originalmente definida sobre la cohomología a coeficientes triviales, relacionada con la conjetura del rango toral. Esta acción se extiende naturalmente para la cohomología a coeficientes en el álgebra exterior y allí se la interpreta en términos de las operaciones cohomológicas.