Bimódulos de Soergel | Defensa de Trabajo Especial de la Licenciatura en Matemática

19 Mayo 2023 - Aula Magna - FAMAF Estudiantes

Estudiante: Benjamin Alejandro ALIONI Director: Dr. Nicolás ANDRUSKIEWITSCH

Día: 19 de mayo de 2023

Hora: 14 hs

Lugar: Aula Magna | FAMAF

Resumen: Corría el año 1979 cuando la Conjetura de Kazhdan–Lusztig fue publicada en el Inventiones Mathematicae de Springer. Se aseguraba en la misma que invariantes de importancia en Álgebras de Lie pueden calcularse mediante ciertos polinomios definidos inductivamente. Poco tiempo después Beilinson–Bernstein (1981) y Brylinksi–Kashiwara (1981) probaron este resultado en trabajos independientes de forma casi simultánea. Ambas pruebas hacían uso de un extraordinario abanico de técnicas de la geometría algebraica desarrolladas sólo la década anterior. Resultó llamativo entonces que un problema básico, puramente algebráico, requiriera tal despliegue de sofisticadas herramientas geométricas. Por lo tanto era solo natural buscar una prueba algebraica más elemental que las anteriores. Con esto en mente Wolfgang Soergel introdujo en 1992 los Bimódulos de Soergel como hoy son conocidos. Sin embargo, a pesar de sus esfuerzos, la Conjetura de Kazhdan–Lusztig se resistía a soltar la geometría. Soergel propone en 2006 un análogo a esta Conjetura en un contexto más general, la que pasaría a llamarse Conjetura de Soergel. Con un novedoso enfoque diagramático Ben Elias y Geordie Williamson consiguieron en 2016 probar la nueva Conjetura. Gracias a esta diagramática fue que la intuición original de Soergel pudo concretarse: Obtuvieron una prueba puramente algebraica de la Conjetura de Kazhdan–Lusztig. Se pretende en este trabajo ofrecer una introducción a la teoría clásica de los Bimódulos de Soergel. Comenzamos presentando Grupos de Reflexiones para motivar la definición de Grupos de Coxeter que trabajaremos después. Más adelante introducimos las Álgebras de Hecke junto con la base de Kazhdan–Lusztig que tienen asociada. Por último enunciamos el Teorema de Categorificación de Soergel luego de definir los Bimódulos de Soergel.