Categorías tensoriales simétricas en característica positiva | Defensa de Trabajo Especial de la Licenciatura en Matemática

Director: Iván Angiono

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Resumen: La categoría de representaciones de un grupo finito sobre los números complejos posee características peculiares: el producto tensorial de dos representaciones es una representación, el espacio dual también lo es, hay una cantidad finita de representaciones irreducibles, es semisimple y naturalmente se puede invertir el orden del producto tensorial obteniendo representaciones isomorfas. Esta idea se abstrae en la noción de una categoría de fusión simétrica. Cuando el cuerpo de base es de característica cero, toda categoría como antes admite un funtor particular sobre la categoría de espacios vectoriales o de súper espacios vectoriales (llamado de fibra o de súper fibra), lo que implica que son representaciones sobre un grupo, o un súper grupo, respectivamente. Pero si la característica es prima, la historia es completamente diferente, como puede verse con las llamadas categorías de Verlinde, un cociente semisimple de las representaciones del grupo cíclico del correspondiente orden primo. En el presente trabajo se abordará el resultado principal (junto con resultados preliminares necesarios) del trabajo de V. Ostrik, On symmetric fusion categories in positive characteristic. Sel. Math. New Ser. 26, 36 (2020), que muestra que toda categoría de fusión sobre un cuerpo de orden primo admite un funtor de fibra sobre la correspondiente categoría de Verlinde, lo cual lleva a interpretar dichas categorías de fusión como representaciones de cierto grupo en la categoría de Verlinde.